AN142 –侧轴配置中的线性度：需要注意什么？

1.1 理想情况

理想情况下，沿着以磁体为中心的圆形轨迹（见图 1）均匀磁化的有限圆柱体产生的磁场是角度的正弦函数。

对于有限高度的磁环，一般情况下，Br和Bt的振幅是不同的：$k \equiv Br / Bt \neq 1.$。Br 和 Bt 的解析表达式可参考Caciagli等人所著的 《磁学与磁性材料杂志，456 (2018) 423-432》。幅度不同会导致非线性的传感器输出（即所谓的“椭圆”误差）。该误差曲线本质上具有二次谐波分量，它让一次完整的旋转产生两个正弦波。改变径向和切向灵敏度之间的比率可以很容易地纠正此误差。在 MagAlpha器件中，这个比率由参数“BCT”控制。了解有关 BCT 调整的更多详细信息，请参阅任意一个 MagAlpha 器件数据手册。

侧轴配置是指传感器远离旋转轴的任何配置。图3展示了三种侧轴配置。

图 3：三种不同的侧轴配置（左：侧环；中：正交；右：顶环）

1.2 实际情况

然而，实际系统中存在的一些缺陷会导致非线性，而且也无法通过任何 BCT 调整得到补偿：

 

• 位置缺陷：由于系统机械公差导致的磁体和传感器位置不理想
• 磁性缺陷：磁体的磁化不理想

如果产生的误差曲线与二次谐波具有不同的阶次，则 BCT 设置显然无法补偿误差。即使误差是二次谐波，如果相位不同于因k 比率不等于1 所导致的误差曲线，则BCT 设置也无法补偿该误差。即便可以补偿误差，该误差也通常因磁体不同而异，因此需要在生产过程中进行单独校准。

2 位置缺陷

2.1 传感器绕轴旋转

图 4：非理想的传感器方位（$\theta$是围绕传感器法线轴的旋转角度）

假设传感器完美对齐，BCT 参数也完美设置以补偿磁场 k 比。如果传感器沿其法线方向旋转，则输出将变得非线性：

$$err = − \frac \theta2 \left(k +\frac1 k + (k − \frac 1 k) cos 2\alpha\right)$$

其中$\alpha$为轴角。k 比率越大，误差越大。注意，如果径向分量和切向分量都相等 (k = 1)，则输出仅偏移角度$\theta$并保持完美的线性。

和磁场椭圆误差一样，传感器旋转引起的误差主要为二次谐波分量。但相比椭圆误差，这个误差偏移了 45 度。这意味着该误差不能通过 BCT 微调来补偿。这个结果是可以预见的，因为 BCT 参数作用于 x 场与 y 场的灵敏度比率；在传感器旋转的情况下，传感器的 x 分量和 y 分量不能与磁体径向和切向分量对齐。

注意，以上公式适用于任何配置：侧环、正交或顶环。

2.2 磁体偏心

磁体偏心会产生幅度的一次谐波误差（以度为单位），表达为$\frac {2e} r \frac {180} \pi$，其中$e$为偏心度（见图 5）。该表达式在2D环境中是精确的。对有限磁体高度，需另附加一个小的三次谐波分量。

图 5：磁环的偏心（中心偏移距离为$e$）

$\frac {2e} r \frac {180} \pi$幅度适用于侧环配置，也可用于粗略了解正交或顶环配置中的误差。它对顶环配置的影响要大得多，因为偏心会在对磁体旋转一周的k 比率产生很大影响。

2.3 径向或轴向位移

假设针对特定传感器位置完美设置了BCT。此时如果位移因较大 $\Delta k$修改了k比率，则产生的误差为二次谐波曲线：

$$atan ( (1 + \Delta k) tan\ \alpha) \approx \alpha + \frac {\Delta k} 2 sin\ 2\alpha$$

这种误差在沿着大梯度$k$值的位移时尤其严重。图 6所示为$k$值的大梯度区域示例。

图 6：典型磁环的等$k$值线（大梯度$k$值如红色箭头所示）

由此可知，临界传感器位移为：

• 顶环径向位移
• 正交轴向位移

侧环配置受影响较小（见图 7）。

图 7：轴向和径向位移（红色为临界位移）

3. 磁体缺陷导致的误差

制造过程，特别是磁化步骤中，很容易存在缺陷。

3.1 去磁场导致的不均匀性

这种失真常见于所有磁环，尤其是窄壁（即磁环内径接近输出直径）磁环。从性质上来看，其磁化矢量不是平行的，而是倾向于跟随环的曲率（见图 8）。

图 8：理想的均匀磁化（左）和实际磁体中的典型磁化（右）

为了使磁环最终被磁化，必须将磁环浸入沿其直径方向的均匀强磁场中。在这一步骤中，局部材料颗粒感受到的总磁场非常关键。该磁场通常称为 H，它是外加磁场（圆柱的远磁场）和“去磁场”（即由圆柱本身相邻颗粒产生的磁场）之和。事实证明，对于一个封闭且较高的圆柱体而言，H 是内部均匀的。因此，所有的磁畴都沿同一方向定向。均匀的圆柱体沿着外部圆形轨迹产生完美的正弦径向、切向和轴向场。磁环（空心圆柱体）的行为则不同，其H 场会出现偏离，如图 9所示。这并不是磁体的默认特性，而是其形状使然。

图 9：环内总场 H（由均匀场$H_{ext}$导致）

通常，这种效应使径向（或轴向）场更呈三角形，而切向场更呈“方形”。请参考图 10中的典型失真。

图 10：径向和切向场分量的三次谐波失真

三次谐波失真形式：

$$B_r(\alpha) = B_r^0(cos\ \alpha - D\ cos\ 3\alpha)$$ $$B_t(\alpha) = B_t^0(sin\ \alpha - D\ sin\ 3\alpha)$$

其中$D$为失真率（假设两个组件的失真率相同）。当$D$较小时，会导致误差：

$$err = (-D + D^2) sin\ 2\alpha - \frac {D^2} 2 sin\ 4\alpha + ..$$

它本质上意味着一个幅度为 $D + D^2 -$ 的二次谐波和幅度为$\frac {D^2} 2$的四次谐波的误差。原则上，二次谐波误差与椭圆误差具有相同的相位，因此可以通过BCT微调来补偿。

3.2 外加磁场不完善导致的不均匀性

磁化器件（或压制过程中的各向异性磁体）内的工件定位不准确可能导致不同的误差。因为其尺寸有限，H 场线并非完全平行。如果工件偏离中心，则磁力线的曲率不对称，将导致一次谐波误差。这会影响所有侧轴配置中的传感器读数。

图 11 ：理想磁化（左）和磁化器件的不完美定心导致的不均匀性（右）；$\beta$ 为纯径向磁场角偏移

测量这种不对称性的方法之一是记录径向或切向场，并寻找一个半圈和另一个半圈之间的不对称性（见图 12）。其产生的传感器误差是振幅为$\beta$的一次谐波误差。

图 12：在未完全磁化的环周围测得的径向和切向场

3.3 磁化倾斜

商用磁环或圆柱的磁化通常都不是严格的平面磁化（即垂直于旋转轴）。相反，磁化矢量可以在轴向方向上倾斜几度（$\pm 5$度为常见公差），请参见图 13。

图13: 磁化倾斜

磁化可以看作是理想磁场与纯轴向扰动场的叠加（见图 14）。在侧环配置中，“轴向磁体”产生的磁场垂直于芯片平面，既无法测量（见图 14）。因此，磁化倾斜不会影响侧环传感器的读数；但对于正交或顶环配置则不同。

图 14：倾斜可分解为理想的径向磁化和轴向扰动（上）。轴向扰动影响正交和顶环配置（下）

我们可以粗略估算倾斜对正交配置的影响。无论轴角度如何，轴向环都会在传感器位置产生恒定的磁场。当理想磁体的磁场在传感器位置完全切向磁场时，会出现最严重的误差，即寄生磁场垂直于理想磁场：

$$error = atan \left(\frac {B_{axial}}{B_t}\right)$$

在传感器接近磁体中间高度且磁体高度较小的情况下，此误差可近似为：

$$error = atan \left(\frac1 2 tan\ \theta_m \right)$$

其中$\theta_m$为磁化倾角。

从图 14 中可以观察到，较大误差将影响顶环配置。

4. 总结

原因	相关参数	H1	H2	H4	作用于			BCT 可否补偿？
					侧环	顶环	邻环
传感器旋转	$k$：椭圆率；$\theta$：传感器旋转角度	0	$$atan \left(\frac 1 2 tan\ \theta_m \right)$$	0	是	是	是	否
磁体偏心	$\frac e r$：偏心率与传感器半径之比	$$\frac {2e} r$$		0	是	是	是	否
传感器径向或轴向位移	$\Delta k$：椭圆率变化	0	$$\frac {\Delta k}2$$	0		是	是	是
去磁失真	$D:3^{rd}$ 谐波失真率	0	$$D - D^2$$	$$\frac {D^2} 2$$	是	是	是	H2 是 - H4 否
非均匀磁场	Br 最大值的 $\beta$ 偏移	$$\beta$$	0	0	是	是	是	否
磁化倾斜	$\theta m$：倾角	$$atan \left(\frac 1 2 tan\ \theta_m \right)$$	0	0		是	是	否

注：乘以 $\frac {180}\pi$ 即可获得以度为单位的振幅。

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